Ce recueil structuré de problèmes s'adresse à toute personne désirant se perfectionner dans la pratique des transformations intégrales. Il sera particulièrement utile aux candidats à l'Agrégation de Mathématiques ou à tout concours et examen comportant une épreuve d'Analyse d'un certain niveau, car les sujets mettent en jeu les techniques et théories fondamentales : espaces de Hilbert, méthode des résidus, transformées de Laplace et Stieltjes, séries entières et de Fourier. Il intéressera aussi tout utilisateur obligé des polynômes orthogonaux et des fonctions spéciales, Gamma, Bêta. Dans cette optique un résumé des pré-requis essentiels est placé en début d'ouvrage et permettra au non spécialiste une entrée en matière plus facile.
Tous les sujets sont entièrement corrigés et assortis de commentaires précieux sur leur élaboration et leur enchaînement. Ils sont en effet articulés le long d'un axe de recherche personnelle de l'auteur où la théorie fait bon ménage avec les outils d'investigation modernes que sont les logiciels de calcul formel et les aides en ligne de reconnaissance des constantes et suites répertoriées. Notons enfin que ces sujets sont inédits et que certains présentent des points de vue assez originaux et des pistes pour aller plus loin.
Tout cela s'inscrit donc dans une dynamique qui invite le lecteur à s'aventurer sur des chemins d'Analyse pour un parcours efficace, rentable et on l'espère même un peu ludique. Au cours de ce « Trekking mathématique » qui le conduira du procédé d'accélération d'Aitken à des convergences vers des mesures de Tchebychev et Dirac, il rencontrera les constantes fondamentales (Euler, Catalan, nombres de Bernoulli, nombres de Bell), les polynômes classiques (Laguerre, Hermite, Legendre, Jacobi), des fonctions spécifiques (dilogarithme, LerchPhi) et découvrira surtout avec bonheur de surprenantes formules intégrales.
Rappels et Compléments
1 Intégrale de Lebesgue.
2 Séries de fonctions.
3 Fonctions analytiques.
4 Espaces de Hilbert.
5 Polynômes orthogonaux.
6 Fonctions spéciales.
7 Transformée de Laplace.
Les Problèmes
1 Variations sur le procédé d'Aitken.
2 Transformée de Laplace
3 Transformée de Stieltjes
4 Nombres de Bernoulli.
5 Constante d'Euler.
6 Mesures secondaires.
7 Sur l'opérateur créant les polynômes secondaires.
8 Mesures réductibles.
9 Explicitation de la mesure secondaire.
10 Etude de l'opérateur associé à la mesure de Lebesgue.
11 Autour de l'équation algébrique.
12 Mesure secondaire de Laguerre
.
13 Du continu au discret.
14 Mesure secondaire de Gauss.
15 Mesures secondaires successives.
16 Densités équinormales.
Exercices divers
Solutions des exercices
Index des notations essentielles