Ce manuel s'adresse aux élèves de classes préparatoires aux grandes écoles, aux étudiants en premier cycle d'Université et aux futurs enseignants de mathématiques. Il est conçu pour aider efficacement ces candidats à affronter les épreuves d'Analyse de leurs examens et concours. Chaque chapitre est agrémenté de pages historiques, qui replacent les résultats énoncés dans leur contexte.
La méthode choisie est la présentation d'un vaste choix de problèmes d'entraînement, appuyée par une réflexion approfondie sur les principes fondamentaux de l'Analyse. Les corrigés détaillés sont accessibles sur le site des éditions Cépaduès (www.cepadues.com Référence 828). On trouvera également un résumé des définitions et résultats basiques de cette discipline ainsi qu'un aide-mémoire MAPLE.
Insister sur les points clés de la théorie permet de saisir les lignes de force dans les divers sujets proposés (regroupés en familles), ce qui clarifie la vision des thèmes essentiels liés à la convergence.
La structure adoptée permet aussi un accès rapide et direct à des concepts spécifiques, avec un engagement théorique minimum et une illustration abondante, souvent inscrite dans une perspective historique. On peut ainsi découvrir comment fonctionnent les calculatrices, prouver une irrationalité ou ce qu'est une accélération de convergence. Dans cette optique l'ouvrage séduira donc également toute personne curieuse de la mathématique, qui y trouvera nombre de méthodes intéressantes.
Les auteurs ont une longue pratique pédagogique dans des structures diverses (Lycée, CPGE, Université, IUT, formation continue, préparation au CAPES).
Algorithmes : Les lignes de force.
2. Doubler l'indice.
2.1 Le principe de base.
2.2 Algorithme circulaire universel.
2.3 De la racine carrée au logarithme.
2.4 Suite de Schwab.
2.5 Décomposition de racine en produit infini.
3. Algorithmes de changement de signe.
3.1 Dichotomie.
3.2 Algorithme élémentaire pour Arc cos.
3.3 Approximation des logarithmes.
4. Algorithmes de type Briggs.
4.1 Approche des racines carrées.
4.2 Algorithme C.O.R.D.I.C pour la fonction logarithme.
4.3 Algorithme C.O.R.D.I.C pour l'exponentielle.
4.4 Algorithme de Briggs.
5. Approximation des racines d'un polynôme.
5.1 Principes généraux.
5.2 Des carrés évanouissants.
5.3 Equation de Fermat élémentaire.
5.4 Approximations par divisions Euclidiennes.
5.5 Résolutions approchées et exactes.
5.6 Algorithme de Graeffe.
Variations sur l'algorithme de Graeffe.
6. Schéma du point fixe.
6.1 Applications contractantes.
6.2 Méthodes d'interpolation.
6.3 Méthode de la sécante.
6.4 Méthode de la corde.
6.5 Méthode de Newton.
6.6 Méthode de Steffensen.
6.7 Méthode de Schröder.
6.8 Convergence rapide vers les racines carrées.
6.9 Méthode de Lagrange.
6.10 Variante de la méthode de Lagrange pour les racines.
6.11Convergence vers un point fixe par barycentrage.
6.12Méthode du petit paramètre.
7. Accélération de la convergence.
7.1 Introduction.
7.2 La méthode d'Aitken-Romberg.
7.3 La formule d'Aitken.
7.4 La méthode de Steffensen.
7.5 Accélérations élémentaires d'une convergence.
7.6 Variantes de la méthode d'Aitken.
7.7 Théon de Smyrne, Bombelli et Héron d'Alexandrie.
7.8 Transformation d'Abel.
7.9 Fonction gamma incomplète.
8. Fractions continues
.
8.1 Principes généraux.
8.2 Développements en fractions continues.
8.3 Théorème de Pringsheim.
8.4 Approximations de Padé de la tangente hyperbolique
8.5 Développements de Lambert et d'Euler.
8.6 Equation de Fermat.
9. Irrationalité.
9.1 Généralités.
9.2 Irrationalité de e.
9.3 Irrationalité de p.
9
.4 Irrationalité de tan(1).
9.5 Irrationalité des tangentes des inverses d'entiers.
9.6 Irrationalité de p².
9.7 Cosinus irrationnels.
9.8 Séries d'Engel.
9.9 Nombre de Liouville.
9.10 Transcendance de e.
10. Polynômes classiques.
10.1 Polynômes de Lagrange.
10.2 Polynômes Splines cubiques.
10.3 Polynômes orthogonaux.
10.4 Polynômes de Tchebychev.
10.5 Polynômes d'Euler.
1
0.6 Polynômes de Bernstein.
10.7 Polynômes factoriels.
10.8 Polynômes d'Hurwitz.
11. Thèmes variés.
11.1 Exponentielle limite de puissances.
11.2 Approches rationnelles des fonctions usuelles.
11.3 Deux suites pour Pi et logarithme de 2.
11.4 Suites à convergence lente.
11.5 Convergente lente vers racine carrée.
11.6 Une suite à convergence très lente.
11.7 Moyenne arithmético-géométrique de Gauss.
11.8 Développement Eulérien du sinus.
11.9 Du sinus Eulérien à Stirling.
11.10Intégrales de Wallis, Gauss, formule de Stirling.
11.11La fonction gamma.
11.12Intégrales Eulériennes.
12. Problèmes divers.
13. L'essentiel du cours.
14. L'outil MAPLE.