Le présent ouvrage étudie les transformations conformes du demi-plan supérieur de C sur les intérieurs de certains polygones dont les côtés sont des segments ou des arcs de cercle. Parmi ces polygones figurent les triangles habituels, mais aussi ceux dont les côtés sont curvilignes. Les fonctions inverses, qui appliquent donc des intérieurs de polygones sur le demi-plan supérieur, tout particulièrement lorsque ces polygones sont des rectangles ou des triangles dont les trois angles sont ou nuls ou égaux à p/p où les nombres p sont des entiers, sont définies à l'aide de fonctions méromorphes et doublement périodiques qui sont des fonctions elliptiques. L'existence d'une telle fonction inverse est liée à la propriété selon laquelle ces rectangles ou ces triangles engendrent, par des symétries répétées par rapport aux côtés, un recouvrement du plan complexe ou du demi-plan ou d'un disque ouvert de C, réalisant ainsi des généralisations des pavages que l'on connaît bien quand ils sont construits avec, par exemple, des triangles équilatéraux.
Les bases nécessaires à cette étude font intervenir la théorie de la variable complexe, les prolongements analytiques par symétrie et une mise en place minimum des définitions et des propriétés des fonctions elliptiques et des fonctions modulaires.
Ce livre servira aux étudiants de master des universités, leur apportant des exemples de transformations conformes où l'étude est basée sur la manipulation de fonctions définies par des intégrales, leur donnant des indications sur une famille de fonctions spéciales liées aux fonctions elliptiques, leur fournissant également des méthodes de comparaison de fonctions fondées sur l'analyse de leurs points singuliers.