Cet ouvrage concerne les pratiques mathématiques avec les figures et les lettres, mais aussi les relations entre les figures et les lettres mathématiques. La distinction entre figures et lettres semble aller de soi et ce n'est pas le moindre intérêt de ces pages que de la questionner, en resituant leurs conceptions et leurs usages dans l'histoire des mathématiques. Selon les époques, on peut entendre par « figures », celles de la géométrie élémentaire - triangle ou rectangle par exemple -, mais aussi les tableaux - triangle de Pascal ou matrice -, ou les graphes - arbres et réseaux. Par « lettres », on peut penser aux chiffres, aux lettres de l'alphabet qui désignent les parties d'une figure géométrique - sommet ou angle d'un triangle -, mais aussi aux inconnues de l'algèbre ou aux variables et fonctions de l'analyse. Mais comment qualifier d'autres signes, comme l'accolade, qui jouent un rôle dans la disposition de l'écriture mathématique ?
Au-delà de la distinction habituelle entre figures et lettres, il y a lieu d'analyser leurs usages. Plus radicalement, on peut aussi ramener les mathématiques à ce qui se conserve et se transmet, c'est-à-dire à des traces sur une tablette, un parchemin ou une feuille, que le mathématicien marque et regarde, à partir desquelles il imagine et il crée. Mais alors la distinction entre figures et lettres peut paraître moins simple, plus délicate ou même non pertinente. Du coup, nous sommes renvoyés à la question des pratiques des mathématiciens avec les signes.
De ce point de vue, la perspective historique est particulièrement instructive, et c'est pourquoi le 17ème Colloque Inter-Irem organisé par la Commission Inter-Irem Histoire & Epistémologie des Mathématiques, en association avec la Commission Géométrie, qui s'est tenu les 23 et 24 mai 2008 à Nancy était consacré au thème de « La Figure et la Lettre en mathématiques ». Il n'aurait pas eu lieu sans le soutien actif de l'Irem de Lorraine et des Archives Poincaré, ni de la Maison des Sciences de l'Homme de Lorraine.
Philippe Lombard - Avant-propos Evelyne Barbin Présentation I. Figures géométriques élémentaires 1. Nicolas Rouche - quelle géométrie pour les instituteurs ?
2. Henri Plane - Changeons d'aire 3. Pauline Romera-Lebret - Le triangle à la fin du 19e siècle : une figure ancienne pour des méthodes nouvelles II. Figures et lettres : quelles différences ? Quels passages ?
1. André-Jean Glière - La diversité des démonstrations des formules d'addition au 19e siècle comme témoin d'une histoire commune aux quantités négatives et aux lignes trigonométriques, 2. Philippe Nabonnand - Une géométrie sans figure ?
3. Anne-Marie Marmier - Figures d'un algébriste, la lente création des quaternions 4. René Guitart - Figures, lettres et preuves : dimensions et pulsation de l'écriture 5. Caroline Jullien - Densité syntaxique et densité sémantique en mathématiques : de l'usage de la figure et de la lettre III. Figures et lettres : preuves et intuitions 1. Evelyne Barbin - Voir des figures, des raisonnements et des équations : une approche sémiotique de la démonstration 2. Jacqueline et Jean-Paul Guichard - Le symbolisme d'Hérigone à Leibniz : figure, lettre ou chiffre 3. Klaus Volkert - A quoi ça sert la figure ? Le problème des polytopes réguliers dans l'espace à quatre dimensions 4. Gerhard Heinzmann - L'Intuition cognitive en mathématiques IV. Les langages de l'analyse 1. Anne Boyé - Autour de la géométrie analytique 2. Thomas De Vittori - La caractéristique géométrique de G. W. Leibniz : présentation et perspectives 3. Jean-Pierre Lubet et Jean-Pierre Friedelmeyer - La subversion de la figure par la lettre et la construction d'une analyse algébrique 4. Benoît Jadin - La gauche et la droite du centre V. Figures géométriques et intrigues historiques 1. Joëlle Delattre - Lettres et points de repère dans la représentation plane géocentrique du mouvement planétaire avant Ptolémée 2. Thierry Hamel, Luc Sinègre et André Warusfel - Le problème des figures qui accompagnent une proposition peu connue de Descartes sur les cônes