Cet ouvrage d'introduction à la topologie s'adresse aux étudiants de L3 de Mathématiques, de Masters de Mathématiques Pures et Appliquées, aux étudiants des Écoles d'Ingénieurs, ainsi qu'aux étudiants qui préparent le C.A.P.E.S. et l'Agrégation de Mathématiques. Il fait suite aux trois fascicules consacrés aux espaces topologiques, métriques, normés, et à leurs propriétés classiques (complétude, compacité, connexité), édités dans la même collection. Il propose à la fois des rappels de cours et des exercices corrigés de façon particulièrement détaillée, classés par ordre de difficulté croissante. Le lecteur peut ainsi progresser à son rythme et de façon autonome dans cette discipline. Sont abordées ici les notions d'espaces banachiques et hilbertiens. On y trouvera en particulier le théorème de Hahn-Banach, la notion de série de Fourier, l'inégalité de Bessel, la formule de Parseval, etc. Les exercices proposés permettent au lecteur de maîtriser un large spectre d'exemples. Une fois ces notions assimilées, il pourra sans difficultés s'engager dans des études plus avancées.
Préface.
1 Espaces vectoriels normés.
1.1 Rappels de cours.
1.1.1 Normes.
1.1.2 Convexité.
1.1.3 Applications linéaires continues.
1.1.4 Applications multilinéaires continues.
1.1.5 Espaces de Banach.
1.2 Exercices.
2 Espaces de Hilbert 89.
2.1 Rappels de cours.
2.1.1 Produit scalaire.
2.1.2 Norme associée un produit scalaire.
2.1.3 Propriétés géométriques.
2.1.4 Orthogonalité.
2.1.5 Projection.
2.1.6 Familles orthogonales, orthonormales.
2.1.7 Séries de Fourier.
2.1.8 Base hilbertienne (ou orthonormale).
2.1.9 Isomorphisme d'espaces de Hilbert.
2.1.10 Dual d'un espace de Hilbert.
2.2 Exercices.