Cet ouvrage est un recueil de problèmes d'algèbre linéaire et euclidienne qui s'adresse aux étudiants de deuxième et troisième année d'Université, des classes préparatoires aux Grandes Écoles, ainsi qu'aux étudiants qui préparent le C.A.P.E.S. de Mathématiques. L'auteur y aborde la réduction des endomorphismes, l'étude des formes multilinéaires, et celle des espaces euclidiens.
Chaque problème est soigneusement corrigé, commenté, et se trouve précédé de rappels de cours indispensables à sa résolution. Certains problèmes sont relativement simples, d'autres sont plus délicats, et offrent au lecteur la possibilité de faire une synthèse des connaissances qu'il a acquises au cours de ses études. Il pourra ainsi tester son niveau et constater ses progrès.
Le texte est agrémenté de pages historiques, qui replacent les résultats énoncés dans leur contexte.
Gilbert Monna, agrégé de Mathématiques, est professeur de Mathématiques Spéciales au Lycée St-Joseph (Avignon). Il participe depuis plus de 20 ans à des jurys de concours de recrutements d'enseignants et d'élèves ingénieurs.
Rémi Morvan se consacre à la diffusion et la vulgarisation de textes scientifiques d'enseignement et de recherche.
Jean-Marie Morvan est Professeur de Mathématiques à l'Université Claude Bernard Lyon 1.
1 Algèbre linéaire
1.1 Rappels de cours
1.1.1 Espace vectoriel, sous-espace vectoriel
1.1.2 Somme de sous-espaces vectoriels
1.1.3 Famille libre, liée, génératrice, base, dimension
1.1.4 Application linéaire
1.1.5 Matrices
1.2 Un sous-ensemble de L (R2)
1.2.1 Problème
1.2.2 Solution
1.3 Endomorphismes nilpotents
1.3.1 Problème
1.3.2 Solution
1.4 Suspensions de sous-groupes du groupe linéaire
1.4.1 Problème
1.4.2 Solution
1.5 Idéaux des espaces de matrices
1.5.1 Problème
1.5.2 Solution
2 Réduction des Endomorphismes
2.1 Rappels de cours
2.1.1 Valeur propre, vecteur propre d'un endomorphisme
2.1.2 Valeur propre, vecteur propre d'une matrice carrée
2.1.3 Endomorphismes et matrices diagonalisables
2.1.4 Quelques rappels plus spécifiques
2.2 Suites récurrentes linéaires
2.2.1 Problème
2.2.2 Solution
2.3 Diagonalisation de matrices tridiagonales
2.3.1 Problème
2.3.2 Solution
2.4 Sous-espaces vectoriels stables
2.4.1 Problème
2.4.2 Solution
3 Espaces Vectoriels Euclidiens
3.1 Rappels de cours
3.1.1 Produit scalaire, norme
3.1.2 Orthogonalité
3.1.3 Orientation d'un espace vectoriel
3.1.4 Groupe orthogonal, groupe spécial orthogonal
3.1.5 Rotation de R3
3.1.6 Endomorphisme symétrique, réduction, matrice symétrique
3.1.7 Forme quadratique
3.2 Distance d'un vecteur à un sous-espace
3.2.1 Problème
3.2.2 Solution
3.3 Produits vectoriels
3.3.1 Problème
3.3.2 Solution
3.4 Rotations et Ellipsoïdes de R3
3.4.1 Problème
3.4.2 Solution