La cryptologie, science des écritures secrètes, peut schématiquement être configurée de manière duale à l'aide du couple : cryptographie - cryptanalyse :
- la cryptographie ayant pour objet la création de procédés techniques de codage les plus sûrs possibles.
- la cryptanalyse, au contraire, cherchant à élaborer des protocoles mathématiques permettant de casser les cryptosystèmes.
La plupart de ces objectifs sont atteints grâce à la subtilité et l'élégance de l'arithmétique modulaire.
Cet ouvrage est issu d'un enseignement en mathématiques Spéciales MP* résultant à la fois d'un approfondissement en algèbre destiné aux candidats des ENS et d'une adaptation des mathématiques disponibles en Spé MP* aux techniques de codage et de décodage numériques.
Introduction.
Chapitre 1 Notions préliminaires.
1.1 Relation d'équivalence - Décomposition canonique d'une application.
1.2 Lois de comp. interne - Monoïdes - Exponentiation rapide.
1.3 Le coût des algorithmes.
1.4 Notion d'algorithme probabiliste.
Chapitre 2 Groupes, anneaux, corps.
2.1 Les groupes.
2.2 Les anneaux.
2.3 Les corps.
Chapitre 3 Arithmétique modulaire dans Z.
3.1 L'anneau Z/nZ.
3.2 Le théorème chinois - Applications.
3.3 Retour à l'indicatrice d'Euler.
3.4 Algorithmes d'Euclide - Applications à l'arithmétique modulaire.
3.5 Le corps de Frobénius Fp.
3.6 L'anneau Z/pmZ pour p premier et m ? 2.
3.7 C.N.S. pour que (Gn, o) soit cyclique.
3.8 Le quotient de Fermat et la formule d'Eisenstein.
3.9 Le test de primalité de Miller-Rabin - Sa fiabilité.
Chapitre 4 Arithmétique modulaire dans K[X] où K est un corpsfini.
4.1 Introduction.
4.2 Un théorème d'isomorphisme.
4.3 Un théorème fondamental.
4.4 Le corps à pr éléments (p premier, et r ? 1).
4.5 Sous-corps d'un corps à pn éléments.
4.6 Conclusion.
Chapitre 5 Résidus quadratiques - Loi de réciprocité.
5.1 Les carrés dans un corps fini.
5.2 Les résidus quadratiques; les symboles de Legendre et Jacobi.
5.3 La loi de réciprocité quadratique concernant le symbole de Legendre.
5.4 La réciprocité concernant le symbole de Jacobi.
5.5 Application : le test de primalité de Solovay-Strassen.
5.6 Comparaison des tests de primalité de Miller-Rabin et Solovay-Strassen.
5.7 Résidus quadratiques et polynômes sur le corps fini Fq.
Chapitre 6 Les nombres premiers.
6.1 Le point de vue d'Euler et celui de Gauss.
6.2 Quelques résultats remarquables concernant les nombres premiers.
6.3 Les nombres premiers jumeaux.
6.4 Polynômes générant des nombres premiers.
6.5 Etude d'un cas particulier : suite de nombres premiers en progression arithmétique.
6.6 Un aspect analytique des nombres premiers.
6.7 Comment reconnaître qu'un nombre entier est premier?
6.8 Les nombres premiers de Mersenne; théorème de Lucas.
6.9 Un exemple d'utilisation d'un nombre de Mersenne en cryptographie.
6.10 Les nombres de Fermat et leurs diviseurs premiers.
6.11 Propriétés liant nombres de Mersenne et de Fermat.
6.12 Dvpt. asymptotique de la fonction somme des inverses des nombres premiers inf. à x.
Chapitre 7 Arithmétique modulaire et cryptologie.
7.1 Les grands systèmes cryptographiques.
7.2 Le cryptosystème El-Gamal adapté aux courbes elliptiques.
Chapitre 8 Protocoles de signature et d'identification numériques.
8.1 Définitions et exemples.
8.2 Un procédé de signature élaboré lié au logarithme discret et à clé jetable.
8.3 Un protocole de signature interactif avec l'expéditeur et le destinataire.
Basé sur le logarithme discret.
8.4 Mise en forme pratique - Fonctions de hachage.
8.5 Protocoles d'identification numériques n'utilisant pas de mot de passe.
8.6 Exemples numériques concernant les protocoles de Schnorr et d'Okamoto 154.
Annexe A : Cryptographie et surface de Frobénius.
A.1 Introduction.
A.2 Un peu de théorie.
A.3 Cryptosystème El-Gamal sur Kn.
A.4 Casser le cryptosystème.
A.5 Conclusion.
A.6 Annexe : programmes en Caml.
A.7 Annexe : programmes en Maple.
A.8 Annexe : Résultats pratiques.
A.9 Deux propositions utilisées sans démonstration.
Postface.