Ce bref ouvrage très dense, rédigé par un spécialiste des équations aux dérivées partielles, fournit les bases d'analyse fonctionnelle abstraite indispensables à tout étudiant en mathématiques, en mathématiques appliquées ou à tout candidat à l'agrégation : intégrale de Lebesgue, espaces de Banach, espaces de Hibert, espaces de Lebesgue et dualité.
Trois chapitres sont ensuite consacrés à des applications : espaces de Sobolev, réarrangements, problèmes elliptiques linéaires et non linéaires. L'exposé, original, fait souvent appel à des méthodes inspirées de recherches récentes, qui figurent pour la première fois dans un ouvrage pédagogique. On notera l'usage des inégalités de réarrangement dans le traitement des problèmes elliptiques, la présentation, dans les dernières pages du livre, de résultats nouveaux sur les ruptures de symétrie et, dans le premier chapitre, une construction simple et directe de l'intégrale de lebesgue.
L'ouvrage comporte 84 énoncés d'exercices.