Cet ouvrage analyse la transition des espaces euclidiens de dimension finie aux espaces de Hilbert de dimension infinie, notion parfois difficile a apprehender pour les non-specialistes. L'accent est mis sur les analogies et les differences entre les proprietes de la dimension finie et celles de la dimension infinie, en remarquant l'importance fondamentale de la coherence entre la structure algebrique et celle topologique qui permet aux espaces de Hilbert d'etre les structures de dimension infinie les plus proches des espaces euclidiens.Le fil rouge de cet ouvrage est la transformee de Fourier. Un accent particulier est mis sur la transformee de Fourier discrete (DFT), qui permet de montrer des applications explicites au traitement des signaux et des images numeriques. La structure geometrique des espaces de Hilbert et les plus importantes proprietes des operateurs lineaires bornes sur ces espaces sont egalement traites. Les theoremes sont presentes avec des preuves detaillees et des exercices avec solution permettent de voir des applications immediates des resultats theoriques.