Leonard Todjihounde

Le calcul différentiel est un outil dont tout mathématicien, quelle que soit sa spécialité, doit en posséder les rudiments. Même les spécialistes de mathématiques discrètes ne peuvent s'en passer, car l'on ne peut bien explorer, bien appréhender le discret que si l'on connaît un peu mieux le continu, avec les nombreux et ingénieux outils mathématiques qui y ont été développés au cours du temps, que si l'on a une idée des limites et restrictions de ces outils et des possibilités éventuelles de leur adaptation ou de s'en inspirer face à des situations discrètes. Destiné à l'usage aussi bien des étudiants en licence de mathématiques que des enseignants, cet ouvrage débute par un rappel des pré-requis topologiques nécessaires pour aborder les notions exposées dans la suite. L'auteur a voulu ce rappel sur les espaces vectoriels normés le plus détaillé et le plus complet possible pour permettre à l'utilisateur de faire le point de ces notions sans trop d'effort et sans perdre du temps à les rechercher dans les livres de topologie. L'approche pédagogique utilisée permet au lecteur de cerner assez rapidement et dans tous leurs contours les concepts exposés et de comprendre dès le début l'architecture des démonstrations des théorèmes et propositions. Outre les chapitres classiques généralement traités dans les livres de calcul différentiel, un chapitre sur les fonctions convexes différentiables attirera l'attention du lecteur sur les propriétés intéressantes qui découlent du couplage de ces deux notions ; quant au chapitre sur les théorèmes du rang, il fait ressortir l'importance et les conditions de linéarisation d'une application au voisinage d'un point.

Préface. 1 RAPPELS SUR LES ESPACES DE BANACH. Espaces vectoriels normés. Espaces de Banach. Produit fini d'espaces vectoriels normés. Exemples d'espaces de Banach. Applications linéaires continues. Convergence dans G(E, F). Composition d'applications linéaires continues. Isomorphismes d'espaces vectoriels normés. Normes équivalentes. Espaces vectoriels normés de dimension finie. Série d'exercices sur chapitre 1. 2 APPLICATIONS DIFFERENTIABLES. Définition d'applications différentiables. Différentielles de quelques applications particulières. Etude dans quelques cas particuliers d'espaces. Dérivées directionnelles. Différentielles partielles. Cas des applications définies sur R'. Changement de variables. Série d'exercices sur le chapitre 2. 3 THEOREME DES ACCROISSEMENTS FINIS. Théorème des accroissements finis. Critère partique de différentiabilité. Différentielles et applications lipschitziennes. Différentielles et point fixe. Critère de convergence uniforme. 4 INVERSIONS LOCALES ET FONCTIONS IM-PLICITES. Difféomorphismes de classe C1. Théorème d'inversion locale Théorème d'inversion locale en dimension finie. Application au changement de variables. Théorème des fonctions implicites. Différentielle de l'application implicite. Cas des applications de R+P dans RP. Série d'exercices sur les chapitres 3 et 4. 5 THEOREMES DU RANG. Rang d'une application. Théorèmes du rang maximal. Théorème du rang constant. Série d'exercices sur le chapitre 5. 6 DIFFERENTIELLES D'ORDRE SUPERIEUR. Préliminaires. Différentielles secondes. Différentielles partielles secondes. Cas d'une application définie surE = R'. Différentielles d'ordre n (avec n > 2). Symétrie des différentielles d'ordre supérieur. Quelques exemples. Propriétés des différentielles d'ordre supérieur. Difféomorphismes de classe CP. Série d'exercices sur le chapitre 6. 7 FONCTIONS CONVEXES DIFFERENTIABLES. Définition et propriétés. Fonctions convexes différentiables. 8 INTEGRATION DES FONCTIONS REGLEES. Fonctions en escalier. Fonctions réglées. Intégrales des fonctions réglées. Primitive d'une fonction réglée. Différentiation sous le signe d'intégration. Série d'exercices sur le chapitre 8. 9 FORMULES DE TAYLOR. Théorèmes de Taylor. Définitions complémentaires. Série d'exercices sur le chapitre 9. 10 EXTREMA RELATIFS D'UNE FONCTION. Notions sur les formes quadratiques. Minima et Maxima relatifs. Extréma liés. Série d'exercices sur le chapitre 10. 11 SOUS-VARIETES DE Rn. Généralités. Sous-variétés définies par des équations. Paramétrages, cartes. Espaces tangents. Courbes et courbures. Géodésiques et courbures des surfaces. Série d'exercices sur chapitre 11. 12 EQUATIONS DIFFERENTIELLES. Rappels : Applications lipschitziennes. Equations différentielles. Intégrales premières. Equations différentielles linéaires. Résolvante. Série d'exercices sur chapitre 12. 13 FORMES DIFFERENTIELLES. Applications multilinéaires alternées. Produit extérieur des applications alternées. Formes différentielles. Produit extérieur des formes différentielles. Différentiation extérieure des formes différentielles. Transposition des formes. Intégration des formes différentielles. Série d'exercices sur le chapitre 13