L'ouvrage est constitué d'une suite de problèmes qui permettent au lecteur de démontrer lui-même la plupart des résultats importants de la théorie, et de faire connaissance avec un grand nombre de situations intéressantes.
Paul Halmos y emploie la méthode qui a fait le succès de Problèmes pour mathématiciens, petits et grands :
D'abord intéresser le lecteur, exposer le problème, poser la question précise dont la réponse permet de débloquer la situation. Ensuite, donner, si nécessaire, une indication. Enfin, pour être sûr que tout est bien compris, donner une solution complète.
L'ouvrage est donc divisé en trois parties : Problèmes, Indications, Solutions, qui suivent le plan classique :
- Espaces vectoriels, bases, applications linéaires, dualité, matrices semblables, matrices équivalentes et rang, réduction des matrices, espaces hermitiens, opérateurs auto-adjoints et normaux.
Il peut servir de complément à tous les cours d'algèbre linéaire, quel que soit leur public et leur niveau.