Par cette introduction à la géométrie différentielle, le pré-requis nécessaire est le calcul différentiel dans les espaces euclidiens. Sont abordées les principales notions de base de la géométrie différentielle : variétés différentielles, espaces tangents et cotangents, champs de vecteurs, formes différentielles. De nombreux exemples sont traités en détail. « Introduction aux variétés différentielles » est un ouvrage de base et propose également des exercices avec solutions très classiques pour l'étudiant et le débutant en la matière, d'autres plus délicats pour l'enseignant, le chercheur ou l'étudiant de niveau plus avancé. Destiné aux étudiants de maîtrise ou de DEA de mathématiques ainsi qu'à ceux qui préparent l'agrégation, cet ouvrage intéresse les professeurs des lycées et des classes préparatoires. Les physiciens sont, eux aussi, concernés.
Ancien élève de l'École normale supérieure (rue d'Ulm), Jacques Lafontaine a débuté sa carrière d'universitaire à l'Université de Paris 7 (Jussieu) avant de devenir professeur à l'Université de Montpellier 2. Ses travaux de recherche traitent des variétés conformément plates, des fonctionnelles sur l'espace des métriques riemanniennes et de la géométrie pseudo-riemanniennes.